Милан родился в хорватском городе Вуковар, но когда ему исполнился год его семья переехала в сербский Панчево. Отец нашего защитника, Велько — в прошлом футболист, профессор физкультуры. Однако наш герой мог и не последовать по пути своего папы, так как мама в пять лет захотела отдать маленького Милана на карате. Вот как описал этот момент сам Гайич: «В пять лет моя мама решила отдать меня на карате. Она подготовила мне сумку со всеми необходимыми вещами. Но я разрыдался прямо на пороге и сказал: «Я этого не хочу! Я хочу заниматься только футболом!». После этого у родителей никогда не возникало вопросов по поводу моего будущего».

В итоге Милан уже в шесть лет стал заниматься футболом в местном «Динамо». Тренеры использовали его на поле в качестве опорного полузащитника, так как он был выше своих сверстников. В 13 лет он перешел в академию белградского ОФК, где познакомился со своим будущим одноклубником — Сашей Зделаром. Дебютировал во взрослом футболе 10 августа 2013 года в матче против «Вождоваца», а первый гол забил 9 ноября того же года во встрече с «Ягодиной». В 2014 году был признан лучшим игроком в составе ОФК.

Летом 2015 года Гайич вместе со Зделаром выиграл молодежный чемпионат мира и после этого перешел во французский «Бордо». Как раз в составе сборной Милан окончательно поменял позицию с опорника на крайнего защитника. «Перед Евро U19 в Венгрии он заглянул в мой клуб (ОФК Белград) и сказал, что ищет для сборной правого защитника. Так совпало, что и у ОФК на этом месте появилась дыра, и я отыграл там пять матчей. Велько Паунович (тренер сборной, бывший игрок «Рубина») увидел их и позвал меня в сборную, с которой мы выиграли ЧМ-2015. Фактически именно Паунович поменял мою позицию. Я и дальше играл в клубе справа», — рассказывал Милан.

После 3,5 лет в «Бордо» Гайич снова оказался на родине — в 2019-м подписал контракт с «Црвеной Звездой». В составе команды игрок четыре раза стал чемпионом Сербии, двукратным обладателем Кубка страны, а также стал привлекаться к играм национальной сборной.

В ПФК ЦСКА Милан перешел летом 2022-года в качестве свободного агента и уже выиграл с нашей командой Кубок России и серебряные медали РПЛ. В сезоне-2022/23 играл на позиции крайнего правого защитника, но с нового сезона все чаще выходит с левой стороны, что позволило ему улучшить личную результативность. Например, в выездном дерби со «Спартаком» он смог оформить дубль.